Vraag en Bespreking van die Inversie van die Laplace-transformasie - 1

Kyk vir dit $h(t)$ van $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

Bespreking:

Moet die omgekeerde Laplace-transformasie doen. Hieronder is die stappe wat jy kan volg om dit te kry $h(t)$ vanaf die oordragfunksie $H(s)$:

Stap 1: Faktoreer die noemer van $H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

Stap 2: Skakel die breuk om in 'n eenvoudiger gedeeltelike breukvorm sodat dit maklik is om die inverse te bepaal

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

Stap 3: Bepaling van koëffisiënte

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

Deur die koëffisiënte te vergelyk, kry ons:

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

Van $1=A+B$, ons kry $1=0+B\Rightarrow B=1$

Van $0=4A+2B+C$, ons kry $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

Stap 4: Gedeeltelike breuke

Vervanging $A=0$, $B=1$, en $C=-2$ in die $H(s)$:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

Stap 5: Omgekeerde Laplace-transformasie

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

Dus:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$Grafiek:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [00120240602]