Vraag en Bespreking van die Inversie van die Laplace-transformasie - 1

Kyk vir dit \( h(t) \) van \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)

Bespreking:

Moet die omgekeerde Laplace-transformasie doen. Hieronder is die stappe wat jy kan volg om dit te kry \( h(t) \) vanaf die oordragfunksie \( H(s) \):

Stap 1: Faktoreer die noemer van \( H(s) \)

\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]

Stap 2: Skakel die breuk om in 'n eenvoudiger gedeeltelike breukvorm sodat dit maklik is om die inverse te bepaal

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]

\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]

\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Stap 3: Bepaling van koëffisiënte

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Deur die koëffisiënte te vergelyk, kry ons:

• \(1 = A + B\)
• \(0 = 4A + 2B + C\)
• \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)

Van \(1 = A + B\), ons kry \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)

Van \(0 = 4A + 2B + C\), ons kry \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)

Stap 4: Gedeeltelike breuke

Vervanging \(A = 0\), \(B = 1\), en \(C = -2\) in die \( H(s) \):

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

Stap 5: Omgekeerde Laplace-transformasie

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]

Dus:

\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]

\( Grafiek: h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \)

 [00120240602]